Любое натуральное число можно разложить на произведение простых множителей. Если вы не любите иметь дело с большими числами, такими как 5733, научитесь раскладывать их на простые множители (в данном случае это 3 x 3 x 7 x 7 x 13). Подобная задача часто встречается в криптографии, которая занимается проблемами информационной безопасности. Если вы еще не готовы создать собственную систему безопасной электронной почты, для начала научитесь раскладывать числа на простые множители.
Шаги
Часть 1
Нахождение простых множителей-
Начните с исходного числа. Выберите составное число больше 3. Нет смысла брать простое число, так как оно делится лишь на само себя и единицу.
- Пример: разложим на произведение простых чисел число 24.
-
Разложим данное число на произведение двух множителей. Найдем два меньших числа, произведение которых равно исходному числу. Можно использовать любые множители, но проще взять простые числа. Один из хороших способов состоит в том, чтобы попробовать поделить исходное число сначала на 2, затем на 3, потом на 5 и проверить, на какие из этих простых чисел оно делится без остатка.
- Пример: если вы не знаете множителей для числа 24, попробуйте поделить его на малые простые числа. Так вы обнаружите, что данное число делится на 2: 24 = 2 x 12 . Это хорошее начало.
- Поскольку 2 является простым числом, его хорошо использовать при разложении четных чисел.
-
Начните строить дерево множителей. Эта простая процедура поможет вам разложить число на простые множители. Для начала проведите от исходного числа две "ветки" вниз. На конце каждой ветки напишите найденные множители.
- Пример:
-
Разложите на множители следующую строку чисел. Взгляните на два новых числа (вторая строка дерева множителей). Оба ли они относятся к простым числам? Если одно из них не является простым, также разложите его на два множителя. Проведите еще две ветки и напишите два новых множителя в третьей строке дерева.
- Пример: 12 не является простым числом, поэтому его следует разложить на множители. Используем разложение 12 = 2 x 6 и запишем его в третьей строке дерева:
- 2 x 6
-
Продолжайте двигаться вниз по дереву. Если один из новых множителей окажется простым числом, проводите от него одну "ветку" и пишите на ее конце это же число. Простые числа не раскладываются на меньшие множители, поэтому просто переносите их на уровень ниже.
- Пример: 2 является простым числом. Просто перенесите 2 из второй в третью строку:
- 2 2 6
-
Продолжайте раскладывать числа на множители, пока у вас не останутся одни простые числа. Проверяйте каждую новую строку дерева. Если хоть один из новых множителей не является простым числом, разложите его на множители и запишите новую строку. В конце концов у вас останутся одни простые числа.
- Пример: 6 не является простым числом, поэтому его также следует разложить на множители. В то же время 2 представляет собой простое число, и мы переносим две двойки на следующий уровень:
- 2 2 6
- / / /\
- 2 2 2 3
-
Запишите последнюю строку в виде произведения простых множителей. В конце концов у вас останутся одни простые числа. Когда это случится, разложение на простые множители завершено. Последняя строка представляет собой набор простых чисел, произведение которых дает исходное число.
- Проверьте ответ: перемножьте стоящие в последней строке числа. В результате должно получиться исходное число.
- Пример: в последней строке дерева множителей содержатся числа 2 и 3. Оба этих числа являются простыми, поэтому разложение завершено. Таким образом, разложение числа 24 на простые множители имеет следующий вид: 24 = 2 x 2 x 2 x 3 .
- Порядок множителей не имеет значения. Разложение можно записать также в виде 2 x 3 x 2 x 2.
-
При желании упростите ответ с помощью степенной записи. Если вы знакомы с возведением чисел в степень, можно записать полученный ответ в более простом виде. Помните, что внизу записывается основание, а надстрочное число показывает, сколько раз это основание следует умножить на само себя.
- Пример: сколько раз встречается число 2 в найденном разложении 2 x 2 x 2 x 3? Три раза, поэтому выражение 2 x 2 x 2 можно записать в виде 2 3 . В упрощенной записи получаем 2 3 x 3.
Часть 2
Использование разложения на простые множители-
Найдите наибольший общий делитель двух чисел. Наибольшим общим делителем (НОД) двух чисел называется максимальное число, на которое оба числа делятся без остатка. В приведенном ниже примере показано, как с помощью разложения на простые множители найти наибольший общий делитель чисел 30 и 36.
- Разложим оба числа на простые множители. Для числа 30 разложение имеет вид 2 x 3 x 5. Число 36 раскладывается на простые множители следующим образом: 2 x 2 x 3 x 3.
- Найдем число, которое встречается в обоих разложениях. Перечеркнем это число в обоих списках и напишем его с новой строки. Например, 2 встречается в двух разложениях, поэтому запишем 2 в новой строке. После этого у нас остается 30 = 2 x 3 x 5 и 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
- Повторяйте это действие, пока в разложениях не останется общих множителей. В оба списка входит также число 3, поэтому в новой строке можно записать 2 и 3 . После этого вновь сравните разложения: 30 = 2 x 3 x 5 и 36 = 2 x 2 x 3 x 3. Как видно, в них не осталось общих множителей.
- Чтобы найти наибольший общий делитель, следует найти произведение всех общих множителей. В нашем примере это 2 и 3, поэтому НОД равен 2 x 3 = 6 . Это наибольшее число, на которое делятся без остатка числа 30 и 36.
-
С помощью НОД можно упрощать дроби. Если вы подозреваете, что какую-то дробь можно сократить, используйте наибольший общий делитель. По описанной выше процедуре найдите НОД числителя и знаменателя. После этого поделите числитель и знаменатель дроби на это число. В результате вы получите ту же дробь в более простом виде.
- К примеру, упростим дробь 30 / 36 . Как мы установили выше, для 30 и 36 НОД равен 6, поэтому поделим числитель и знаменатель на 6:
- 30 ÷ 6 = 5
- 36 ÷ 6 = 6
- 30 / 36 = 5 / 6
-
Найдем наименьшее общее кратное двух чисел. Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел - это наименьшее число, которое делится без остатка на оба данных числа. Например, НОК 2 и 3 является 6, поскольку это наименьшее число, которое делится на 2 и 3. Ниже приведен пример нахождения НОК с помощью разложения на простые множители:
- Начнем с двух разложений на простые множители. Например, для числа 126 разложение можно записать как 2 x 3 x 3 x 7. Число 84 раскладывается на простые множители в виде 2 x 2 x 3 x 7.
- Сравним, сколько раз каждый множитель встречается в разложениях. Выберите тот список, где множитель встречается максимальное число раз, и обведите это место. Например, число 2 встречается один раз в разложении для числа 126 и дважды в списке для 84, поэтому следует обвести 2 x 2 во втором списке множителей.
- Повторите это действие для каждого множителя. Например, 3 встречается чаще в первом разложении, поэтому следует обвести в нем 3 x 3 . Число 7 встречается по одному разу в обоих списках, так что обводим 7 (неважно в каком списке, если данный множитель встречается в обоих списках одинаковое число раз).
- Чтобы найти НОК, перемножьте все обведенные числа. В нашем примере наименьшим общим кратным чисел 126 и 84 является 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252 . Это наименьшее число, которое делится на 126 и 84 без остатка.
-
Используйте НОК для сложения дробей. При сложении двух дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Для этого найдите НОК двух знаменателей. Затем умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на такое число, чтобы знаменатели дробей стали равны НОК. После этого можно сложить дроби.
- Например, необходимо найти сумму 1 / 6 + 4 / 21 .
- С помощью приведенного выше метода можно найти НОК для 6 и 21. Оно равно 42.
- Преобразуем дробь 1 / 6 так, чтобы ее знаменатель равнялся 42. Для этого необходимо поделить 42 на 6: 42 ÷ 6 = 7. Теперь умножим числитель и знаменатель дроби на 7: 1 / 6 x 7 / 7 = 7 / 42 .
- Чтобы привести вторую дробь к знаменателю 42, поделим 42 на 21: 42 ÷ 21 = 2. Умножим числитель и знаменатель дроби на 2: 4 / 21 x 2 / 2 = 8 / 42 .
- После того как дроби приведены к одинаковому знаменателю, их можно легко сложить: 7 / 42 + 8 / 42 = 15 / 42 .
Всякое составное число может быть единственным образом представлено в виде произведения простых множителей. Например,
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3, 225 = 3 · 3 · 5 · 5, 1050 = 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .
Для небольших чисел это разложение легко делается на основе таблицы умножения. Для больших чисел рекомендуем пользоваться следующим способом, который рассмотрим на конкретном примере. Разложим на простые множители число 1463. Для этого воспользуемся таблицей простых чисел:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,
103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.
Перебираем числа по этой таблице и останавливаемся на том числе, которое является делителем данного числа. В нашем примере это 7. Делим 1463 на 7 и получаем 209. Теперь повторяем процесс перебора простых чисел для 209 и останавливаемся на числе 11, которое является его делителем (см. ). Делим 209 на 11 и получаем 19, которое в соответствии с этой же таблицей является простым числом. Таким образом, имеем:
Разложим число 120 на простые множители
120 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5
Решение
Разложим число
120
120:
2
= 60
60:
2
= 30
- делится на простое число 2
30:
2
= 15
- делится на простое число 2
15:
3
=
5
Завершаем деление, так как 5 простое число
Ответ: 120 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5
Разложим число 246 на простые множители
246 = 2 ∙ 3 ∙ 41
Решение
Разложим число
246
на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом
246:
2
= 123
- делится на простое число 2
123:
3
=
41
- делится на простое число 3.
Завершаем деление, так как 41 простое число
Ответ: 246 = 2 ∙ 3 ∙ 41
Разложим число 1463 на простые множители
1463 = 7 ∙ 11 ∙ 19
Решение
Разложим число
1463
на простые
множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех
пор, пока частное не окажется простым числом
1463:
7
= 209
- делится на простое число 7
209:
11
=
19
Завершаем деление, так как 19 простое число
Ответ: 1463 = 7 ∙ 11 ∙ 19
Разложим число 1268 на простые множители
1268 = 2 ∙ 2 ∙ 317
Решение
Разложим число
1268
на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с
самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом
1268:
2
= 634
- делится на простое число 2
634:
2
=
317
- делится на простое число 2.
Завершаем деление, так как 317 простое число
Ответ: 1268 = 2 ∙ 2 ∙ 317
Разложим число 442464 на простые множители
442464
Решение
Разложим число
442464
на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом
442464:
2
= 221232
- делится на простое число 2
221232:
2
= 110616
- делится на простое число 2
110616:
2
= 55308
- делится на простое число 2
55308:
2
= 27654
- делится на простое число 2
27654:
2
= 13827
- делится на простое число 2
13827:
3
= 4609
- делится на простое число 3
4609:
11
=
419
- делится на простое число 11.
Завершаем деление, так как 419 простое число
Ответ: 442464 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 419
Любое составное число можно разложить на простые множители. Способов разложения может быть несколько. При любом способе получается один и тот же результат.
Как разложить число на простые множители наиболее удобным способом? Рассмотрим, как это лучше сделать, на конкретных примерах.
Примеры. 1) Разложить число 1400 на простые множители.
1400 делится на 2. 2 — простое число, раскладывать его на множители не нужно. Получаем 700. Делим его на 2. Получаем 350. 350 тоже делим на 2. Полученное число 175 можно разделить на 5. Результат — з5 — еще раз делим на 5. Итого — 7. Его можно разделить только на 7. Получили 1, деление окончено.
Это же число можно разложить на простые множители иначе:
1400 удобно разделить на 10. 10 не является простым числом, поэтому его нужно разложить на простые множители: 10=2∙5. Результат — 140. Его снова делим на 10=2∙5. Получаем 14. Если 14 разделить на 14, то его тоже следует разложить на произведение простых множителей: 14=2∙7.
Таким образом, снова пришли к такому же, как и в первом случае, разложению, но быстрее.
Вывод: не обязательно при разложении числа делить его только на простые делители. Делим на то, что удобнее, например, на 10. Надо только составные делители не забыть разложить на простые множители.
2) Разложить число 1620 на простые множители.
Число 1620 удобнее всего разделить на 10. Поскольку 10 простым числом не является, представляем его в виде произведения простых множителей: 10=2∙5. Получили 162. Его удобно разделить на 2. Результат — 81. Число 81 можно разделить на 3, но на 9 — удобнее. Так как 9 — не простое число, раскладываем его как 9=3∙3. Получили 9. Его также делим на 9 и раскладываем на произведение простых множителей.
